Εγγραφή κανονικού δεκαγώνου - πενταγώνου


Αποκαθήλωση του Rogier Van der Weyden, μουσείο Πράδο, Μαδρίτη.



Crucifixion του Rafaello Sanzio (National Gallery, London)



The Sacrament of the last Supper, του Salvador Dali,National Gallery of Art, Washington DC.



Εγγραφή κανονικού δεκαγώνου - πενταγώνου

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ

Οι τεχνίτες του Μεσαίωνα και αργότερα της Αναγέννησης χρησιμοποιούσαν ευρέως τα κανονικά πεντάγωνα στη διακόσμηση των Ισλαμικών αλλά και των Γοτθικών έργων τέχνης. Οι κατασκευές των κανονικών πενταγώνων, προκειμένου να είναι εύχρηστες, έπρεπε να είναι απλές, γρήγορες και κυρίως να γίνονται με ένα συγκεκριμένο άνοιγμα του διαβήτη, γιατί δεν υπήρχε κάποια τεχνική που να επανέφερε το αρχικό άνοιγμα του διαβήτη μόλις αυτό άλλαζε.
Ο Leonardo da Vinci και ο Durer παρ’ ότι γνώριζαν την ακριβή κατασκευή του κανονικού πενταγώνου με κανόνα και διαβήτη, όπως δίνεται από τον Ευκλείδη στα «Στοιχεία», ενδιαφέρθηκαν για μια πιο γρήγορη και πρακτική κατασκευή. Αυτή συνίσταται σε μία προσεγγιστική κατασκευή του κανονικού πενταγώνου με διαβήτη, που θεωρείται ακόμη η γρηγορότερη γνωστή μέθοδος για πρακτική σχεδίαση. Με το μάτι δεν διακρίνεται ότι το πεντάγωνο δεν έχει όλες τις γωνίες των κορυφών του ίσες, φαίνεται δηλαδή κανονικό αν και στην πραγματικότητα δεν είναι.

Προσεγγιστική κατασκευή πενταγώνου από τον Leonardo da Vinci

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

Προσεγγιστική κατασκευή πενταγώνου από τον Albert Durer

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

Οι προσεγγιστικές αυτές κατασκευές του Durer και του Leonardo da Vinci, είναι ένα παράδειγμα μέσω του οποίου καταδεικνύεται η αξία, η χρησιμότητα και η ανάγκη της μαθηματικής απόδειξης.
Αποδεικνύεται δηλαδή ότι στα μαθηματικά δεν πρέπει να βασιζόμαστε μόνο στις αισθήσεις μας προκειμένου να αποφανθούμε εάν μια πρόταση είναι αληθής ή όχι, αλλά απαιτείται η απόδειξη, που θα επιβεβαιώσει την ορθότητα ενός συμπεράσματος.

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

Skaloxoritou Georgia, Δημιουργήθηκε με το πρόγραμμα GeoGebra









Το πλαίσιο του έργου, παρόλο που θυμίζει ένα τρίπτυχο, στην πραγματικότητα είναι μονοκόμματο. Είναι τέλεια ισορροπημένο και ισοζυγισμένο. Κέντρο της σύνθεσης είναι το σώμα του Χριστού, που είναι στραμμένο μετωπικά προς το θεατή.
Η σύνθεση του πίνακα είναι οργανωμένη μέσα τρεις κύκλους που εφάπτονται στο πλαίσιό του. Σε αυτούς τους κύκλους είναι εγγεγραμμένα πεντάγωνα.




















Στη σύνθεση του πίνακα χρησιμοποήθηκε η χρυσή αναλογία. Παρατηρούμε ότι δημιουργείται ένα κανονικό πεντάγωνο που ορίζεται από το κεφάλι του Χριστού τα κεφάλια των άγιου Ιερώνυμου και Μαρίας της Μαγδαληνής και τα πόδια των αγγέλων.















Στο θόλο του δωματίου σχηματίζεται κανονικό δωδεκάεδρο οι έδρες του οποίου σχηματίζονται από κανονικά πεντάγωνα. Ο Χριστός είναι τοποθετημένος στο κέντρο του πενταγώνου.















Φύλλο εργασίας

1. Να υπολογίσετε την κεντρική γωνία του κανονικού δεκαγώνου

2. Να υπολογίσετε την γωνία του κανονικού δεκαγώνου

3. Φέρτε τη διχοτόμο ΑΚ της γωνίας ΟΑΒ και αποδείξτε ότι τα τρίγωνα ΟΑΚ και ΑΒΚ είναι ισοσκελή.

4. Aποδείξτε ότι τα τρίγωνα ΟΑΒ και ΚΑΒ είναι όμοια και γράψτε τους λόγους ομοιότητας.


5. Να υπολογισθεί η πλευρά του δεκαγώνου συναρτήσει της ακτίνας του κύκλου.

6. Κατασκευή του κανονικού δεκαγώνου με κανόνα και διαβήτη.
      Κατασκευή της πλευράς του δεκαγώνου με τη βοήθεια της χρυσής τομής:
      Χωρισμός του κύκλου σε 10 ίσα τόξα
      Κατασκευή του δεκαγώνου

7. Aπόδειξη:
Το πολύγωνο που κατασκευάσθηκε είναι κανονικό γιατί οι πλευρές του είναι ίσες ως ακτίνες ίσων κύκλων και οι γωνίες του είναι όλες ίσες με 144o .

8. Να κατασκευάσετε το κανονικό πεντάγωνο




















Aκολοθήστε τα παρακάτω βήματα για την κατασκευή.

1. Δίνεται τμήμα ΑΒ μήκους a.
Mε κέντρα τα Α,Β και ακτίνα a γράφουμε κύκλους που τέμνονται στα σημεία Γ,Δ.

2. Φέρνουμε τη ΓΔ. (Τί είναι η ΓΔ για το τμήμα ΑΒ;)

3. Διαιρούμε το ευθ. τμήμα σε 8 ίσα μέρη.

4. Φέρνουμε την ΓΙ//ΑΒ με ΓΙ=a/8.

5. Έστω Ο το σημείο τομής των ΒΙ και ΓΜ.
(το Ο είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του πολυγώνου).

6. Γράφουμε κύκλο (Ο,ΟΑ) που διέρχεται από το Β και τέμνει τους κύκλους (Α,a) και (B,a) στα σημεία Ν,Ρ.

7. Γράφουμε κύκλο (Ν,ΝΑ) που τέμνει τον κύκλο (Ο,ΟΑ) στο S.

8. Τα σημεία Α,Β,Ρ,S,Ν είναι οι κορυφές του ζητούμενου πενταγώνου.

ΕΡΩΤΗΣΗ: Το πεντάγωνο που σχηματίσθηκε είναι κανονικό;











Aκολοθήστε τα παρακάτω βήματα για την κατασκευή.

1. Δίνεται τμήμα ΑΒ μήκους a.
Mε κέντρα τα Α,Β και ακτίνα a γράφουμε κύκλους που τέμνονται στα σημεία C,D.

2. Φέρνουμε τη ΓΔ. (Τί είναι η ΓΔ για το τμήμα ΑΒ;)

3. Γράφουμε κύκλο (D,DA) που διέρχεται από το Β και τέμνει το τμήμα CD στο Ι και τους κύκλους με κέντρα τα Α,Β στα σημεία F,H αντίστοιχα.

4. Φέρνουμε την FI που τέμνει τον κύκλο με κέντρο Β στο Κ και την ΗΙ που τέμνει τον κύκλο με κέντρο Α στο Μ.

5. Γράφουμε κύκλους με κέντρα τα Κ και Μ και την ίδια ακτίνα a, που τέμνονται στο Ρ.

6. Το ζητούμενο πεντάγωνο είναι το ΑΒΚΡΜ.

ΕΡΩΤΗΣΗ: Το πεντάγωνο που σχηματίσθηκε είναι κανονικό;









Στοιχεία κανονικών πολυγώνων




τετράγωνο- κανονικό εξάγωνο- τρίγωνο